Ka-Band Signal Chain

\[ f_{LO} = 4\,N f_{ref} = 4 \times 1119 \times 7.68\ \text{MHz} = 34.37568\ \text{GHz}, \qquad f_{RF}(t) = f_{LO} + f_{IF}(t) \] \[ s(t) = e^{\,j\varphi(t)},\qquad \varphi(t) = \pi S t^2 - \pi B t,\qquad S = \frac{B}{T} = \frac{10\ \text{MHz}}{200\ \mu\text{s}} = 5\times10^{10}\ \text{Hz/s} \] \[ u_{DAC}(t) = \cos\!\big(2\pi f_{IF}\,t + \varphi(t)\big),\qquad f_{IF} = 37.5\ \text{GHz} - f_{LO} = 3.12432\ \text{GHz} \]

\(s(t)\) คือ complex envelope ของ chirp (ความถี่ขณะหนึ่งกวาดจาก −B/2 ถึง +B/2) ทุกสมการด้านล่างเขียนในรูป envelope นี้ ส่วนความถี่พาหะจะแยกเขียนเป็น \(e^{j2\pi f t}\)

\[ r(t) = \underbrace{a_L\, s(t-\tau_L)}_{\text{leakage}} \;+\; \sum_{c}\underbrace{a_c[m]\; e^{-j2\pi f_c \tau_c}\; s(t-\tau_c)\, e^{\,j2\pi f_{D,c} t}}_{\text{rain cell } c} ,\qquad \tau_c = \frac{2R_c}{c_0},\quad f_{D,c} = \frac{2v_c}{\lambda} \] \[ |a_L|^2 = \frac{P_t}{\mathrm{ISO}},\qquad \mathrm{E}\,|a_c|^2 = \frac{P_t G_t G_r\,\theta\phi\,\pi^3 |K|^2 Z(R_c)\,\delta r}{512\ln 2\;\lambda^2 R_c^2 L}\;10^{-\mathrm{PIA}(R_c)/10} \]

สูตรที่สองคือ weather radar equation (Probert-Jones): กำลังจากฝนแปรตาม \(Z/R^2\) ไม่ใช่ \(1/R^4\) เพราะปริมาตรที่ลำคลื่นกวาดโตตาม \(R^2\) ส่วน \(a_c[m]\) เปลี่ยนจาก chirp ถึง chirp ตาม Doppler spectrum แบบ Gaussian (mean \(v\), width \(\sigma_v\)) โดยใช้วิธีของ Zrnić ส่วน PIA คือ attenuation สองทางจากฝนระหว่างทาง

\[ z(t) = \sqrt{G}\; r(t)\, e^{\,j2\pi f_{IF} t} + n(t), \qquad z'(t) = \mu\, z(t) + \nu\, z^*(t), \qquad \mathrm{IRR} = \frac{|\mu|^2}{|\nu|^2} = 26.9\ \text{dB} \] \[ y(t) = \sqrt{2}\;\operatorname{Re}\{\mathcal{P}_+\, z'(t)\} \quad(\text{image-reject hybrid: upper sideband only}) \] \[ N_0 = k T_0\, F\, G + N_{0,ADC} \] \[ = (-144.0\ \text{dBm/Hz}) \oplus (-149.0\ \text{dBm/Hz}) = -142.8\ \text{dBm/Hz} \;\Rightarrow\; F_{eff} = 11.2\ \text{dB} \]

\(G\) = gain จาก antenna ถึง ADC (สมมติ 20 dB), \(F\) = NF ของ mixer (สมมติ 10 dB), \(\mu,\nu\) มาจาก IQ imbalance 0.5 dB / 4° และ \(\mathcal{P}_+\) หมายถึงเก็บเฉพาะความถี่บวก noise ของ ADC (NSD −150 dBFS/Hz) บวกเข้ามาอีกทำให้ NF รวมเพิ่มขึ้น 1.2 dB

\[ y(t) = \sqrt{2G}\;\operatorname{Re}\Big\{\Big[a_L\, s(t-\tau_L) + \sum_c a_c\, e^{-j2\pi f_c\tau_c}\, s(t-\tau_c)\Big]\, e^{\,j2\pi f_{IF} t}\Big\} + w(t) \]

กล่าวคือ ADC เห็นคลื่น cosine ที่ 3.124 GHz ความถี่เลื่อน ±5 MHz ตาม chirp แอมพลิจูดเกือบคงที่ 325 mV peak (มาจาก leakage) บนนั้นมี echo ฝนขนาดเล็กมากกับ noise ขี่อยู่ ใน time domain จึงแทบมองไม่เห็นฝนเลย

\[ x[n] = \mathcal{Q}\{\,y(n/f_s)\,\},\qquad \Delta = \frac{2A_{FS}}{2^{14}} = 43.3\ \mu\text{V} \] \[ \text{SNR}_q = 6.02\times 14 + 1.76 = 86\ \text{dB} \] \[ f_{alias} = f_{IF} - (z-1)\frac{f_s}{2} = 3.12432 - 2.5 = 0.62432\ \text{GHz}\qquad(z = 3,\ \text{odd zone: not inverted}) \]

zone ที่ \(z = \lfloor f_{IF}/(f_s/2)\rfloor + 1 = 3\) เป็น zone คี่ สเปกตรัมจึงไม่กลับด้าน ถ้า chirp คร่อมขอบ zone (เช่นใช้ PLL 8.54 GHz ในโหมด 1 GHz) ส่วนที่ล้นเข้า zone 4 จะพับกลับด้านมาทับกัน

\[ \text{SNR}_i = \frac{P_{bin}}{N_0\, B_{n,i}},\qquad B_{n}:\ 1.25\ \text{GHz} \to 54\ \text{MHz} \to 4.6\ \text{MHz} \to \frac{\text{ENBW}}{T} = 7.5\ \text{kHz} \]

\[ z[m] = \sqrt{2}\sum_{l} h[l]\; x[mD-l]\; e^{-j2\pi f_{NCO}(mD-l)/f_s},\qquad D = 40 \] \[ z(t) \approx \mu\sqrt{G}\,\Big[a_L\,s(t-\tau_L) + \sum_c a_c\, e^{-j2\pi f_c\tau_c}\, s(t-\tau_c)\Big]\,e^{\,j2\pi\Delta f\,t} + w(t),\qquad \Delta f = f_{IF}-f_{NCO} \]

ค่า \(\sqrt{2}\) ทำให้กำลังของ complex เท่ากับกำลังของ real (\(|z|^2 = P\)) หลัง DDC เราได้ complex envelope กลับคืนมาครบ ทั้ง phase และ amplitude ซึ่งเป็นสิ่งที่ Doppler ต้องใช้

\[ s_{ref}(t) = s(t)\,e^{\,j2\pi\Delta f\, t},\qquad b_m(t) = s_{ref}(t)\; z_m^*(t) \] \[ \varphi(t) - \varphi(t-\tau) = 2\pi S\tau\, t - \pi S\tau^2 - \pi B\tau \] \[ b_m(t) \approx \sum_c |a_c|\, \exp\!\Big(j\big[\,2\pi \underbrace{(S\tau_c - f_{D,c})}_{f_{b,c}}\, t + \underbrace{2\pi f_c \tau_c - \arg a_c}_{\phi_{c,m}}\big]\Big) \] \[ f_b = \frac{2SR}{c_0} - \frac{2v}{\lambda},\qquad \Delta\phi_{m\to m+1} = -\frac{4\pi v T}{\lambda} \]

ความถี่ของ tone บอกระยะ และ phase ที่เปลี่ยนจาก chirp ถึง chirp บอกความเร็ว (ใช้ใน P6) พจน์ \(-2v/\lambda\) คือ range–Doppler coupling ที่ 6 m/s ทำให้ระยะเพี้ยนประมาณ 4.5 m (0.3 bin) \(\Delta f\) ใน reference ต้องตรงกับ offset ของ NCO ไม่เช่นนั้นทุก tone จะเลื่อน

\[ b'_m[n] = \sum_l h_b[l]\; b_m[nD_2 - l],\qquad D_2 = 10,\qquad f_{s,beat} = 6.25\ \text{MS/s} \ge 2.5\,f_{b,max},\quad f_{b,max} = S\,\frac{2R_{max}}{c_0} = 2.0\ \text{MHz} \]

\[ X_m[k] = \frac{1}{\sum_n w[n]}\sum_{n=0}^{N-1} w[n]\, b'_m[n]\, e^{-j2\pi kn/N},\qquad R_k = \frac{k\, f_{s,beat}}{N}\cdot\frac{c_0}{2S} = k\,\Delta R,\qquad \Delta R = \frac{c_0}{2B} = 15.0\ \text{m} \] \[ N_{bin} = N_0\,\frac{\text{ENBW}}{T},\qquad \text{ENBW}_{Hann} = 1.5 \;\Rightarrow\; N_{bin} = -142.8 + 10\log_{10}(7500) = -104.0\ \text{dBm} \]

tone ที่อยู่นิ่งตลอด chirp มีพลังงานรวมกันแบบ coherent ใน bin เดียว ขณะที่ noise กระจายไปทุก bin ขั้นนี้จึงให้ gain มากที่สุด (+28 dB)

\[ \tilde X_m[k] = X_m[k] - \frac{1}{M}\sum_{m'=0}^{M-1} X_{m'}[k] \]

ข้อจำกัด: เป้าที่ความเร็วใกล้ 0 (เช่น เมฆที่แทบไม่ตก) ถูกตัดไปด้วยบางส่วน และส่วนที่ leakage แกว่งระหว่าง chirp (สมมติ −60 dBc) จะเหลือค้างเป็น residual

\[ S_k(f_i) = \frac{\big|\sum_m w_m \tilde X_m[k]\, e^{-j2\pi i m/M}\big|^2}{M\sum_m w_m^2},\qquad v_i = -\frac{\lambda f_i}{2},\qquad v_{max} = \frac{\lambda}{4T} = 9.99\ \text{m/s} \] \[ R_0 = \frac{1}{M}\sum_m |\tilde X_m|^2,\qquad R_1 = \frac{1}{M-1}\sum_m \tilde X_{m+1}\tilde X_m^* \] \[ \hat v = -\frac{\lambda}{4\pi T}\arg R_1,\qquad \hat\sigma_v = \frac{\lambda}{2\sqrt{2}\,\pi T}\sqrt{\ln\frac{\hat S}{|R_1|}},\qquad \hat S = R_0 - \hat N \]

phase ที่หมุนระหว่าง chirp บอกความเร็วเฉลี่ย และการที่ \(|R_1|\) น้อยกว่า \(S\) (สัญญาณ decorrelate) บอกความกว้างของ spectrum ถ้าความเร็วเกิน ±v_max phase จะหมุนเกิน ±180° และค่าที่ได้จะกลับฝั่ง (velocity aliasing)

\[ \hat N = \operatorname{mean}\{S_{(1..n^*)}\},\quad n^* = \max\big\{n : p\cdot\operatorname{var}\{S_{(1..n)}\} \le \operatorname{mean}\{S_{(1..n)}\}^2\big\} \] \[ \text{SNR}_k = \frac{R_0[k]-\hat N}{\hat N} \ge \gamma = -6\ \text{dB} \]

threshold −6 dB ใช้ได้เพราะเฉลี่ย 8 × 64 chirp ทำให้ค่า noise ที่ประมาณได้แกว่งน้อยกว่า −13 dB

\[ Z = C\;R^2\;\frac{\hat S}{G\,L_{ov}(R)}\;10^{\,\text{cal}/10},\qquad C = \frac{512\ln 2\;\lambda^2 L}{P_t G_t G_r\,\theta\phi\,\pi^3|K|^2\,\Delta R_{eff}} \] \[ \Delta R_{eff} = \text{ENBW}\cdot\frac{c_0}{2B} = 1.5\times 15 = 22.5\ \text{m},\qquad L_{ov}(R) = \Big(\frac{\sum_{n\ge n_\tau} w_n}{\sum_n w_n}\Big)^2,\quad n_\tau = \tau f_{s,beat} \]

\(\Delta R_{eff}\) ใหญ่กว่า 15 m เพราะ window ทำให้แต่ละ bin รับฝนจากช่วงที่กว้างกว่า bin ส่วน \(L_{ov}\) ชดเชยช่วง τ แรกที่ไม่มี beat (P2) ค่า cal ได้จากการ calibrate ด้วย corner reflector

\[ k = \alpha Z^{\beta}\ \text{[dB/km]},\quad \alpha = a_k\, a^{-b_k/b},\ \beta = \frac{b_k}{b};\qquad Z_c(R) = \frac{Z_m(R)}{\big[1 - 0.46\,\beta\alpha\int_0^R Z_m^{\beta}(s)\,ds\big]^{1/\beta}} \]

\(k = 0.263 R^{0.979}\) ที่ ~37 GHz และ \(Z = 200R^{1.6}\) วิธีนี้ไม่เสถียรเมื่อ attenuation สูง จึงจำกัดการแก้ไว้ไม่เกิน 10 dB

\[ R = \Big(\frac{Z}{a}\Big)^{1/b},\qquad a = 200,\ b = 1.6\ \ (\text{Marshall–Palmer}) \]

\[ v_{max}^{TDM} = \frac{\lambda}{4\,N_{tx}\,T},\qquad \Delta(\sin\theta) \approx \frac{\text{ENBW}}{N_v\, d/\lambda} = \frac{1.5}{16\times 0.5} \;\Rightarrow\; \Delta\theta \approx 11^\circ\ (\text{Hann}) \]

ประโยชน์หลักของ MIMO สำหรับเรดาร์ตรวจฝนแบบชี้ขึ้นจึงไม่ใช่ภาพที่คมขึ้น แต่คือการได้ radial velocity ที่หลายมุมพร้อมกัน ซึ่งเอาไปคำนวณลมแนวนอนได้ (C7)

\[ x_v = x_{t} + x_{r},\quad x_t = 2t\ [\lambda],\ x_r = 0.5r\ [\lambda] \;\Rightarrow\; x_v = 0.5\,(4t + r),\qquad v = 4t + r = 0,\dots,15 \] \[ \tau_{t,r}(\theta) = \frac{2R - (x_t + x_r)\lambda\sin\theta}{c_0} \;\Rightarrow\; X_m[r,k] \propto e^{-j2\pi (x_t + x_r)\sin\theta},\qquad X_v[q, v, k] = X_{qN_{tx}+t}[r, k] \]

เพราะ TX ห่างกัน 2λ = 4 × ระยะห่าง RX ผลรวมตำแหน่ง TX+RX จึงเรียงเป็น array 16 ตัวที่ห่างกัน λ/2 พอดี phase ที่ต่างกันระหว่าง element เป็นเส้นตรงตาม \(\sin\theta\) (หลัง dechirp เครื่องหมายกลับเป็นลบเพราะมี conjugate)

\[ c_v = \frac{\overline{X_v[k_0]}}{\overline{X_0[k_0]}\; a_v(\theta_0)},\qquad a_v(\theta) = e^{-j2\pi x_v \sin\theta},\qquad \tilde X_v = X_v / c_v \]

ถ้าไม่ calibrate ความผิดพลาดของ phase ±25° ต่อช่องจะทำให้เกิด sidelobe สูงถึง −7 dB และเกิดเป้าปลอม หลัง calibrate ค่าที่ประมาณได้ต่างจากค่าจริงไม่เกิน 3° ต้อง calibrate ใหม่เมื่อเปลี่ยนสาย อุณหภูมิเปลี่ยน หรือ reset PLL

\[ D[f_i, v, k] = e^{-j2\pi f_i\, t_v T}\sum_{q} w_q\,\tilde X_v[q,k]\, e^{-j2\pi f_i q N_{tx} T},\qquad t_v = \lfloor v / N_{rx}\rfloor \]

ถ้าไม่ชดเชย phase error \(2\pi f_D t T\) จะทำให้มุมเพี้ยนตามความเร็ว ในการทดสอบ เป้าที่ 10° ความเร็ว ±7 m/s: ชดเชยแล้วได้ 10.8° (ความละเอียดของ grid 1.8°) ถ้าไม่ชดเชยได้ 12.6° / 7.2° ถ้า Doppler alias การชดเชยจะผิดไปด้วย จึงต้องเลือก chirp ให้ v_max พอ

\[ A[f,\theta_n,k] = \frac{1}{\sum_v w_v}\sum_{v=0}^{15} w_v\, D[f,v,k]\; e^{+j2\pi v n / N_\theta},\qquad \sin\theta_n = \frac{n/N_\theta}{d/\lambda} = 2\,\frac{n}{N_\theta} \] \[ P[f,\theta,k] = \frac{|A[f,\theta,k]|^2}{Q\sum_q w_q^2} \]

\[ R_0 = \sum_f P,\qquad R_1 = \sum_f P\, e^{\,j2\pi f N_{tx}T},\qquad \hat v_r = -\frac{\lambda}{4\pi N_{tx}T}\arg R_1 \] \[ Z(\theta) = Z_{beam}\big(\hat S\big)\cdot \frac{\theta_b\sqrt{\pi/(8\ln 2)}}{f^4(\theta)\;\Delta\theta_{eff}},\qquad \Delta\theta_{eff} = \frac{\text{ENBW}}{N_v\,(d/\lambda)\cos\theta},\qquad f^4(\theta) = e^{-8\ln 2\,\theta^2/\theta_b^2} \]

\(Z_{beam}\) คือสูตร P8 เดิม (ที่ถือว่ากำลังมาจากทั้ง beam) พจน์ที่เพิ่มเข้ามาเปลี่ยนเป็นกำลังจาก angle bin เดียว และชดเชยการที่ขอบ beam มี gain ต่ำกว่า

\[ \theta_{eff,n} = \frac{\int \theta\, f^4(\theta)\,|H_n(\theta)|^2\, d\theta}{\int f^4(\theta)\,|H_n(\theta)|^2\, d\theta},\qquad H_n(\theta) = \frac{1}{\sum w}\sum_v w_v\, e^{\,j2\pi x_v(\sin\theta - \sin\theta_n)} \]

ผลคือ bin ±18.2° มีมุมจริง ±12.3° และ bin ±9.0° มีมุมจริง ±6.1° (ถือว่า Z สม่ำเสมอข้าม beam ที่ระยะเดียวกัน) ทดสอบกับฝนที่ไม่มี noise แล้ว θ_eff ตรงกับค่าที่คำนวณจาก cell ของฝนจริงภายใน 0.7°

\[ v_r(\theta) = V\cos\theta - u\sin\theta \quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix}\hat V\\ \hat u\end{bmatrix} = \arg\min \sum_i \frac{\text{SNR}_i}{1+\text{SNR}_i}\Big(v_{r,i} - V\cos\theta_i + u\sin\theta_i\Big)^2 \]

\(V\) = ความเร็วตกของเม็ดฝน + ลมแนวดิ่ง (สองอย่างนี้แยกกันไม่ได้ด้วยเรดาร์ตัวเดียว) ความไวต่อ noise ของ \(u\) สูงเพราะ \(\sin\theta_{eff}\) มีค่าแค่ ≤ 0.2 จึงต้องเฉลี่ยข้ามหลาย gate และหลาย dwell เช่นเดียวกับ wind profiler ทั่วไป